EulSeminar.de |
mit Ergebnissen aus meinem Unterricht |
zu Themen aus Mathematik und Physik |
Mathematik 2 für Biologen an der Uni Köln im Sommersemester 2018 bei Dr. S. Wiesendorf |
|
Quelle: |
M2-Bio-Uk-2018SS-Ue08-A2b |
Aufgaben-Nr.: |
8. Übung, Aufgabe 2b, schriftlich, 7 Punkte |
Stand: |
16.06.2018, 20:32 Uhr |
Aufgabentyp: |
Konfidenzintervall zur diskreten Zufallsvariablen |
Aufgaben-stellung: |
Bei einem Versuch wurde die Reaktionszeit von 81 zufällig ausgewählten Probanden auf ein bestimmtes visuelles Signal gemessen. Die hierbei ermittelte durchnittliche Reaktionszeit lag bei 0,8 Sekunden. Für die Varianz ergab sich aus den Daten ein Schätzwert von 0,04. |
Aufgabe |
Geben Sie unter der Annahme, dass die die Reaktionszeit beschreibende Zufallsvariable normalverteilt ist ein 99%-iges Kon fidenzintervall für den Erwartungswert an. |
Hinweis: |
Obwohl n> 30, muss mit t-Werten der Studentverteilung gearbeitet werden, da für die Varianz nur ein Schätzwert vorliegt. |
Tabelle: |
tn-1;1- α/2= t81;0,995= 2,639 |
Rechnung: |
(1- α)-Konfidenzintervall= wird: (1-1%)-Konfidenzintervall= |
Ergebnis: |
Das 99%-Konfidenzintervall lautet: [0,8sec- 0,05864 .sec; 0,8sec+ 0,05864 .sec] bzw. auf signifikante Ziffern korrigiert: [0,8sec- 0,06sec; 0,8sec+ 0,06sec]= [0,74sec; 0,86sec] |
Bemerkung: |
Trotz der hohen Standardabweichung in der Stichprobe von 0,2sec und des geforderten hohen Signifikanzniveaus von 99% für das Vertrauensintervall ist das Vertrauensintervall recht klein um den Mittelwert 0,8sec der Stichprobe angeordnet. Der relativ große Stichprobenumfang von 81 gibt dem Stichprobenmittel von 0,8sec großes Vertrauen, dass der Erwartungswert ΅ der Grundgesamtheit zu 99% nur um 0,06sec vom Stichprobenmittel abweicht. |
Mathematik 2 für Biologen an der Uni Köln im Sommersemester 2018 bei Dr. S. Wiesendorf |
|
Quelle: |
M2-Bio-Uk-2018SS-Ue08-A2a |
Aufgaben-Nr.: |
8. Übung, Aufgabe 2a, schriftlich, 8 Punkte |
Stand: |
16.06.2018, 20:32 Uhr |
Aufgabentyp: |
Konfidenzintervall zur diskreten Zufallsvariablen |
Aufgaben-stellung: |
Beim Wirkstoffgehalt eines Medikaments in Tablettenform gibt es produktionsbedingt zufällige Schwankungen, die normalverteilt sind. Zur Kontrolle werden aus einer Tagesproduktion 20 Tabletten zufällig entnommen und es wird ein durchschnittlicher Wirkstoffgehalt von 310,75 mg ermittelt. Aus langjährigen Erfahrungen mit Produktionsprozessen dieser Art sei bekannt, dass die Varianz 400 mg2 beträgt. |
Aufgabe |
Bestimmen Sie ein Kon fidenzintervall zum Kon fidenzniveau von 95% für den Erwartungswert des Wirkstoffgehalts. |
Info: |
Es handelt sich nicht um die beschreibende Statistik von Werten einer Erhebung. Vielmehr soll vom Mittelwert einer Stichprobe auf den Erwartungswert der Grundgesamtheit geschlossen werden, was eine Aufgabe der beurteilenden Statistik ist. |
Defini tion: |
Das (1- α)-Konfidenzintervall enthδlt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) den wahren Erwartungswert ΅ der Grundgesamtheit. Dem Konfidenzintervall zugrunde liegt der Mittelwert x einer Stichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit. |
Bezeichnung: |
Das (1- α)-Konfidenzintervall heiίt auch Vertrauensintervall auf dem Signifikanzniveau α oder mit Konfidenzniveau= Konfidenzgrad (1-α) fόr den Grundgesamtheitserwartungswert ΅. |
Formel: |
Für Stichproben mit n< 30 bei bekanntem σ der Grundgesamtheit wird das (1-α)-Konfidenzintervall statt mit z mit den t-Werten der Studentverteilung gebildet:mit der Eigenschaft: |
Formel: |
mit Grundgesamtheitstandardabweichung σ und Grundgesamtheitvarianz V. |
Tabelle: |
tn-1;1- α/2= t19;0,975= 2,093 |
Rechnung: |
(1- α)-Konfidenzintervall= wird: (1-5%)-Konfidenzintervall= |
Ergebnis: |
Das 95%-Konfidenzintervall lautet: [301,39mg; 320,11mg] bzw. auf signifikante Ziffern korrigiert: [310,8mg- 9,4mg; 310,8mg+ 9,4mg]= [301,4mg; 320,2mg] |
Mathematik 2 für Biologen an der Uni Köln im Sommersemester 2018 bei Dr. S. Wiesendorf |
|
Quelle: |
M2-Bio-Uk-2018SS-Ue08-A1 |
Aufgaben-Nr.: |
8. Übung, Aufgabe 1, schriftlich, 15 Punkte |
Stand: |
16.06.2018, 20:45 Uhr |
Aufgabentyp: |
Konfidenzintervall zur diskreten Zufallsvariablen |
Aufgaben-stellung: |
Ein Zoo erwartet zum ersten Mal Eisbären-Nachwuchs. Da der Zoo im Umgang mit Eisbärenbabys noch sehr unerfahren ist, werden wichtige Daten von anderen Zoos herangezogen, so zum Beispiel das Gewicht eines Eisbärenbabys. Es liegen die folgenden Daten über das Gewicht (in Gramm) von neugeborenen Eisbären vor: 810; 530; 800; 620; 850; 820; 770; 580; 900. Nehmen Sie an, dass das Gewicht von neugeborenen Eisbären (annähernd) normalverteilt ist. |
Aufgabe a) |
Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Messreihe |
Aufgabe b) |
Berechnen Sie die Varianz der Messreihe |
Aufgabe c) |
Berechnen Sie ein 95%-Kon denzintervall für den Erwartungswert des Gewichts eines Eisbärenbabys. |
Info: |
Es handelt sich nicht um die beschreibende Statistik von Werten einer Erhebung. Vielmehr soll vom Mittelwert einer Stichprobe auf den Erwartungswert der Grundgesamtheit geschlossen werden, was eine Aufgabe der beurteilenden Statistik ist. |
Defini tion: |
Das (1- α)-Konfidenzintervall enthδlt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) den wahren Erwartungswert ΅ der Grundgesamtheit. Dem Konfidenzintervall zugrunde liegt der Mittelwert x einer Stichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit. |
Bezeichnung: |
Das (1- α)-Konfidenzintervall heißt auch Vertrauensintervall auf dem Signifikanzniveau α oder mit Konfidenzgrad (1-α) fόr den Grundgesamtheitserwartungswert ΅. |
Formel: |
Unter den Voraussetzungen: große Stichprobe mit n≥ 30 und bekanntem σ der Grundgesamtheit wird das (1-α)-Konfidenzintervall mit den Werten z der Standardnormalverteilung gebildet:mit der Eigenschaft: |
Formel: |
Für Stichproben mit n< 30 bei bekanntem σ der Grundgesamtheit wird das (1-α)-Konfidenzintervall statt mit z mit den t-Werten der Studentverteilung gebildet:mit der Eigenschaft: |
Formel: |
Falls σ der Grundgesamtheit nicht bekannt ist, sondern nur die Standardabweichung sn-1 der Stichprobe, muss unabhängig vom Stichprobenumfang n stets mit t-Werten gerechnet werden:(1-α)-Konfidenzintervall= mit der Eigenschaft: |
Formel: |
Stichprobenmittelwert= |
Formel: |
Stichprobenvarianz= |
Formel: |
|
Erläuterung: |
|
Lösung a) |
|
Rechnung: |
x = 1/9* (810+530+800+620+850+820+770+580+900)g= 742,1g |
Lösung b) |
|
Rechnung: |
Vn-1= 1/8* ((810-742,1)2+(530-742,1)2+(800-742,1)2+(620-742,1)2+(850-742,1)2+(820-742,1)2+(770-742,1)2+(580-742,1)2+(900-742,1)2)g2= 17194g2 |
Rechnung: |
sn-1= Wurzel(17194g2)= 131,1g |
Tabelle: |
tn-1;1- α/2= t8;0,975= 2,306 |
Rechnung: |
(1- α)-Konfidenzintervall= wird: |
Ergebnis: |
Das 95%-Konfidenzintervall lautet: [641g; 843g] |
Mathematik 2 für Biologen an der Uni Köln im Sommersemester 2018 bei Dr. S. Wiesendorf |
|
Quelle: |
M2-Bio-Uk-2018SS-Ue07-A2b |
Aufgaben-Nr.: |
7. Übung, Aufgabe 2b, schriftlich, 5 Punkte |
Stand: |
11.06.2018, 19:35 Uhr |
Aufgabentyp: |
Erwartungswert einer Zufallsvariablen |
Aufgaben-stellung: |
Bei einem Gewinnspiel kann man für einen Einsatz von 1 von einem Zufallsgenerator Zufallszahlen von 1 bis 100 generieren lassen. Bei der Zahl 55 erhält man 50 Gewinn, bei 11, 22 und 33 nur 5, bei den Zahlen 44, 66, 77, 88 jeweils 3 Gewinn und bei 1, 99 und 100 zumindest noch 1. Ansonsten verliert man seinen Einsatz. |
Aufgabe a) |
Prüfen Sie, ob sich eine Teilnahme am Spiel lohnt, indem Sie den Erwartungswert der entsprechenden Zufallsvariablen berechnen. |
Aufgabe b) |
Berechnen Sie zusätzlich auch die Standardabweichung. |
Info: |
Dies ist eine Aufgabe zur beschreibenden Statistik diskreter Ereignisse. Dem Ereignis ek werden zwei Zahlen zugeordnet: Die Zufallsvariable X ordnet dem Ereignis ek (z.B. Augenzahl eines Würfels) einen Wert xk (z.B. einen Gewinn) funktional zu gemäß: ek →xk= X(ek). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet dem Ereignis ek dessen Wahrscheinlichkeit pk funktional zu gemäß: ek →pk= P(ek). Als Statistik über alle Ereignisse kann zur Zufallsvariablen X ein Erwartungswert E(X) nebst Varianz V(X) berechnet werden. |
Bemerkung: |
Zur Definition der Funktionen X und P gibt es die Möglichkeiten wie bei anderen mathematischen Funktionen auch:
|
Formel: Erwartungswert |
|
Formel: Varianz |
|
Lösung a) |
|
Gegeben: |
Ereignistabelle mit Werten für die Zufallsvariable X und Wahrscheinlichkeit P |
Gesucht: |
Erwartungswert E(X)= ? |
Rechnung: |
E(X)= 0,01*(50+ 3*5+ 4*3+ 3*1)= 80/100= 0,8. |
Ergebnis: |
Der Erwartungswert der Zufallsvariablen ist 0,8. |
Auswertung: |
Da je Spiel 1 eingesetzt wird, verliert man pro Spiel "auf die Dauer" 0,2. Auf "lange Sicht" lohnt die Spielteilnahme nicht. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Spiel wenigstens den Einsatz zurück zu bekommen beträgt P= Günstige_Fälle/Alle_Fälle= 11/100= 11%. Die Wahrscheinlichkeit für mehr als den Einsatz ist 8%. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Spiel "auf Anhieb" den Hauptgewinn von 50 zu erzielen, beträgt 1%. Ob es sich lohnt oder einen oder mehrere Versuche "wert" ist, ist sicher Einstellungssache des Gewinnspielteilnehmers und wie weit lässt er folgenden Satz zu: "Wer nicht wagt, nicht gewinnt!" Informationen zur Spielsucht bei http://bzga.deund aktuell die Pressemeitteilung vom 11.06.18 zur Fussball-WM-2018: https://www.bzga.de/presse/pressemitteilungen/?nummer=1222 |
Lösung b) |
|
Gesucht: |
Varianz V(X)= ? Daraus wird Standardabweichung berechnet per s(X)= Wurzel(V(X)) |
Rechnung: |
V(X)= 0,01*((50- 0,8)2+ 3*(5-0,8)2+ 4*(3-0,8)2+ 3*(1-0,8)2)= 24,932 2 |
Schlussrechnung: |
S(X)= Wurzel(24,932 2)= 4,99 |
Ergebnis: |
Die Standardabweichung für dieses Glücksspiel beträgt etwa 5 Euro. |
Bemerkung: |
Würde man den Erwartungswert 0,8 und die Standardabweichung 5 dieses asymmetrischen Zufall-Versuches fälschlich als Maßzahlen ΅ und σ fόr ein per Glockenkurve beschreibbares Zufall-Experiment benutzen, käme man gemäß "1-sigma-Regel" auf folgende Aussagen:In etwa 34 von 100 Teilnahmen erhält man pro Spieleinsatz von 1 zurück: häufig minimal 0,8 bis weniger häufig maximal (0,8+ 1*5)= 5,8. Bei genauso vielen Teilnahmen erhält man pro Spieleinsatz von 1 zurück häufig minimal 0,8 und verliert weniger häufig maximal bis (0,8- 1*5)= -4,2. Hier würde vorgegaukelt, dass Gewinne den Verlust überwiegen. Zieht man jedoch in Betracht, dass für die hier im symmetrischen Modell betrachteten 68 Teilnahmen ja 100 Euro Einsatz erforderlich waren, wird es auch hier nichts mit dem "Gewinnen auf lange Sicht". Denn selbst wenn in 68 von 100 Teilnehmen jeweils die 34 Maximalwerte gewonnen und 34 verloren würden, erhielte man als Ergebnis: -100+ 34*5,8- 34*4,2= -100+ 34*1,6= -45,6. Nimmt man weniger als die Maximalwerte, wird der Verlust bei 100 Teilnahmen sogar noch größer. |
Mathematik 2 für Biologen an der Uni Köln im Sommersemester 2018 bei Dr. S. Wiesendorf |
|
Quelle: |
M2-Bio-Uk-2018SS-Ue07-A2a |
Aufgaben-Nr.: |
7. Übung, Aufgabe 2a, schriftlich, 5 Punkte |
Stand: |
11.06.2018, 19:35 Uhr |
Aufgabentyp: |
Werte einer Normalverteilung |
Aufgaben-stellung: |
Das Gewicht X (in mg) einer Insektenart sei normalverteilt mit Erwartungswert 15 und der Varianz 9. |
Aufgabe a) |
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gewicht eines zufällig ausgewählten Insekts dieser Art zwischen 12 mg und 20 mg? |
Aufgabe b) |
Bestimmen Sie den Median von X |
Aufgabe c) |
Bestimmen Sie das 25%-Quantil von X |
Aufgabe d) |
Bestimmen Sie das 75%-Quantil von X |
Info: |
Dies ist eine Aufgabe zur beschreibenden Statistik. Die Häufigkeit der auftretenden Werte x der Zufallsvariablen X (mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Merkmalsausprägungen x zum Merkmal X) ist durch die Glockenkurve von Gauss als so genannte Normalverteilung vorgegeben. Es soll das Auftreten bestimmter Werte ausgewertet werden. |
Definition: |
Das α-Quantil xα ist derjenige maximal erlaubte Wert x (also Merkmalsausprägung) derart, dass die Wahrscheinlichkeit für die Realisierung aller Werte x kleiner oder gleich dem α -Quantil xα genau α beträgt. |
Formel: |
x α heißt α -Quantil zur Zufallsvariablen X <=> P(X≤ xα)= α |
Definition: |
P(X= x) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) dafür, dass das Merkmal X die Merkmalsausprägung x annimmt. Entsprechend für P(X≤ x) und P(X≥ x) |
Definition: |
Der Median ist das 50%-Quantil, bei diskreten Zufallsvariablen auch Zentralwert genannt. |
Formel: |
x α heißt α -Quantil zur stetigen Zufallsvariablen X, die mit ihrer Dichtefunktion (probability density function pdf) f(x) gegeben sei<=> |
Hinweis: |
Bei der vorliegenden Aufgabe liegt die Dichtefunktion als Normalverteilung ϕ μσ(x) mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ vor. Die zugehφrige Stammfunktion (oder so genannte Aufleitung) ist die Verteilungsfunktion φμσ(x). |
Formel: |
Die Dichtefunktion ϕ μσ(x) zur Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ lautet: |
Formel: |
Die Verteilungsfunktion φμσ(x) zur Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ kann nicht analytisch bestimmt werden, sondern muss numerisch berechnet werden aus der Definition: |
Beispiel: |
Dichte und Verteilung zu dieser normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sehen wie folgt aus: |
Formel: |
x α heißt α-Quantil zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φμσ(xα)- φμσ (-∞)= α. Wegen φμσ (-∞)= 0 bleibt:x α heißt α-Quantil zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φμσ(xα)= α |
Formel: |
Um φμσ(x) nicht numerisch zu bestimmen, sondern tabellarisch auszuwerten, wird die ΅-σ-Normalverteilung in eine 0-1-Standardnormalverteilung transformiert mittels so genannter z-Transformation:Alle Fragestellungen zu Wahrscheinlichkeiten der ΅- σ-Normalverteilung kφnnen nun per 0-1-Standardnormalverteilung beantwortet werden. |
Beispiel: |
Mittels werden obige Funktionen zu: |
Lösung a) |
|
Gegeben: |
Normalverteilung mit ΅= 15mg und σ= 3mg. |
Gesucht: |
P(12mg≤ X≤ 20mg) |
Formel: |
|
Hier: |
|
Formel: |
Φ(-a)= 1- Φ(a) |
Weiter: |
P(12mg≤ x≤ 20mg)= Φ01(5/3)- (1- Φ01(1))= Φ01(5/3)+ Φ01(1)- 1 |
Tabelle: |
Φ 01(5/3)≈ Φ01(1,67)= 0,9525 und Φ01(1)= 0,8413. |
Schluss-rechnung: |
P(12mg≤ x≤ 20mg)= 0,9525+ 0,8413- 1= 0,7938 |
Ergebnis: |
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Insekts zwischen 12mg und 20mg liegt, beträgt etwa 79,4%. |
Lösung b) |
|
Gegeben: |
Normalverteilung mit ΅= 15mg und σ= 3mg. |
Gesucht: |
Median |
Formel: |
x α heißt α-Quantil zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φμσ(xα)= α= φ01(zα) und zα= (xα- ΅)/σ. |
Hier: |
x0,5 heißt Median zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φ15,3(x0,5)= 0,5= φ01((x0,5- 15)/3)= φ01(z0,5)= 0,5 |
Tabelle: |
φ 01(z0,5)= 0,5 => z0,5= 0, was anschaulich klar ist. |
Formel: |
z-Rücktransformation: x α= ΅+ zα σ |
Hier: |
x0,5= 15mg+ 0*3mg= 15mg, was ebenfalls anschaulich klar ist. |
Ergebnis: |
Der Median der normalverteilten Größe liegt bei 15mg, also beim Erwartungswert. |
Lösung c) |
|
Gegeben: |
Normalverteilung mit ΅= 15mg und σ= 3mg. |
Gesucht: |
25%-Quantil x0,25 |
Formel: |
x α heißt α-Quantil zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φμσ(xα)= α= φ01(zα) und zα= (xα- ΅)/σ. |
Hier: |
x0,25 heißt 25%-Quantil zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φ15,3(x0,25)= 0,25= φ01((x0,25- 15)/3)= φ01(z0,25)= 0,25Falls Tabelle keine Werte für 0< α< 0,5 liefert, zusδtzlich folgende Umformung |
Formel: |
Umformen: φ01(z1-α)= 1-α und zα= -z1-α |
Tabelle: |
φ 01(z0,75)= 0,75 => z0,75= 0,67 und z0,25= -0,67 |
Formel: |
z-Rücktransformation: x α= ΅+ zα σ |
Hier: |
x0,25= 15mg+ (-0,67)*3mg= 13mg. |
Ergebnis: |
Das 25%-Quantil x0,25 der normalverteilten Größe liegt bei 13mg. |
Lösung d) |
|
Gegeben: |
Normalverteilung mit ΅= 15mg und σ= 3mg. |
Gesucht: |
75%-Quantil x0,75 |
Formel: |
x α heißt α-Quantil zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φμσ(xα)= α= φ01(zα) und zα= (xα- ΅)/σ. |
Hier: |
x0,75 heißt 75%-Quantil zur normalverteilten Zufallsvariablen X <=> φ15,3(x0,75)= 0,75= φ01((x0,75- 15)/3)= φ01(z0,75)= 0,75 |
Tabelle: |
φ 01(z0,75)= 0,75 => z0,75= 0,67 |
Formel: |
z-Rücktransformation: x α= ΅+ zα σ |
Hier: |
x0,75= 15mg+ 0,67*3mg= 17mg. |
Ergebnis: |
Das 75%-Quantil x0,75 der normalverteilten Größe liegt bei 17mg. |
Hinweis: |
Die beiden Quantile 25% und 75% liegen symmetrisch zum Median, was für die symmetrische Normalverteilung anschaulich klar ist. |
Mathematik 2 für Biologen an der Uni Köln im Sommersemester 2018 bei Dr. S. Wiesendorf |
|
Quelle: |
M2-Bio-Uk-2018SS-Ue07-A1 |
Aufgaben-Nr.: |
7. Übung, Aufgabe 1, schriftlich, 10 Punkte |
Stand: |
11.06.2018, 19:34 Uhr |
Aufgabentyp: |
Quantile zur Verteilungsfunktion |
Aufgaben-stellung: |
Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X sei abschnittweise gegeben durch: F(x)= 0 (für x≤ 5), F(x)= 1/6 x2- 5/3 x+ 25/6 (für 5≤ x≤ 7), F(x)= - 1/3 x2+ 16/3 x- 61/3 (für 7≤ x≤ 8), F(x)= 1 (für x≥ 8). |
Aufgabe a) |
Berechnen Sie den Median |
Aufgabe b) |
Berechnen Sie das 0,2-Quantil |
Aufgabe c) |
Berechnen Sie das 0,7-Quantil |
Aufgabe d) |
Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion und tragen Sie die berechneten Quantile ein. |
Info: |
Dies ist eine Aufgabe zur beschreibenden Statistik. Die Häufigkeit der auftretenden Werte x der Zufallsvariablen X (mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Merkmalsausprägungen x zum Merkmal X) wird mit Quantilen ausgewertet. |
Definition: |
Das α-Quantil xα ist derjenige maximal erlaubte Wert x (also Merkmalsausprägung) derart, dass die Wahrscheinlichkeit für die Realisierung aller Werte x kleiner oder gleich dem α -Quantil xα genau α beträgt. |
Formel: |
x α heißt α -Quantil zur Zufallsvariablen X <=> P(X≤ xα)= α |
Definition: |
P(X= x) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) dafür, dass das Merkmal X die Merkmalsausprägung x annimmt. Entsprechend für P(X≤ x) und P(X≥ x) |
Definition: |
Der Median ist das 50%-Quantil, bei diskreten Zufallsvariablen auch Zentralwert genannt. |
Formel: |
x α heißt α -Quantil zur stetigen Zufallsvariablen X, die mit ihrer Dichtefunktion (probability density function pdf) f(x) gegeben sei<=> |
Hinweis: |
Sollte wie bei der vorliegenden Aufgabe statt der Dichtefunktion bereits die Verteilungsfunktion F(x) (also die Stammfunktion F(x) oder die Aufleitung F(x) zu f(x) vorliegen) lässt sich letzte Formel durch Einsetzen der Integrationsgrenzen wie folgt konkretisieren. |
Formel: |
x α heißt α-Quantil zur stetigen Zufallsvariablen X, die mit ihrer Verteilungsfunktion (cumulative density function cdf) F(x) gegeben sei <=> F(xα)- F(-∞)= α |
Bemerkung: |
Das Quantil sollte weiterhin α-Quantil xα genannt werden und nicht z.B. das a-Quantil xa, denn "alpha" ist die durchgehend übliche Bezeichnung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten und xα die Stelle oder Position auf der Rechtsachse der Verteilungsfunktion, für welche diese kumulierte Wahrscheinlichkeit "alpha" erreicht ist. Bei der beurteilenden Statistik spricht man vom Hypothesentest auf dem Signifikanzniveau (1- α) und macht hierbei bekanntlich den α-Fehler bzw. man begeht die Irrtumswahrscheinlichkeit α, zu unterscheiden vom so genannten β-Fehler. Die Stelle xα ist hinreichend indexiert, so dass ein weiteres zuweilen anzutreffendes Umbenennen von xα z.B. auf ξα "Xi-alpha" als nicht hilfreich erachtet wird. |
Lösung a) |
|
Vor-überlegung: |
Zwecks Bestimmung der Abschnitte, in welchen die abschnittweise definierte Verteilungsfunktion F(x) ihre Quantilswerte α erreicht, werden die Werte der Verteilungsfunktion F(x) an den Abschnitträndern berechnet:F(x)= 0 (für x gegen -∞) F(5)= 0 (für x gleich 5 von links und von rechts) F(7)= 2/3≈ 0,6667 (für x gleich 7 von links und von rechts) F(8)= 1 (für x gleich 8 von links und von rechts) F(x)= 1 (für x gegen +∞) |
Gesucht: |
Median zur angegebenen Verteilungsfunktion= 0,5-Quantil, also x α gesucht derart, dass laut Formel gilt: F(xα)- F(-∞)= 0,5 |
Bleibt: |
F(x α)= 0,5 mit 5≤ xα≤ 7 laut Vorüberlegung und F(-∞)= 0 |
Hier: |
1/6 x α2- 5/3 xα+ 25/6= 1/21/6 x α2- 5/3 xα+ 22/6= 0x α2- 10 xα+ 22= 0x α= 5± Wurzel(52-22)= 5± Wurzel(3)Wegen Vorüberlegung 5≤ x α≤ 7 bleibt xα= 5+ Wurzel(3)= 6,7320508 .≈ 6,732. |
Ergebnis: |
Der Median der Verteilung beträgt 6,732. |
Lösung b) |
|
Gesucht: |
0,2-Quantil, also x α gesucht derart, dass laut Formel gilt: F(xα)- F(-∞)= 0,2 |
Bleibt: |
F(x α)= 0,2 mit 5≤ xα≤ 7 laut Vorüberlegung und F(-∞)= 0 |
Hier: |
1/6 x α2- 5/3 xα+ 25/6= 1/51/6 x α2- 5/3 xα+ 119/30= 0x α2- 10 xα+ 23,8= 0x α= 5± Wurzel(52-23,8)= 5± Wurzel(1,2)Wegen Vorüberlegung 5≤ x α≤ 7 bleibt xα= 5+ Wurzel(1,2)= 6,095445 .≈ 6,095. |
Ergebnis: |
Das 0,2-Quantil (oder 20%-Quantil) der Verteilung beträgt 6,095. |
Lösung c) |
|
Gesucht: |
0,7-Quantil, also x α gesucht derart, dass laut Formel gilt: F(xα)- F(-∞)= 0,7 |
Bleibt: |
F(x α)= 0,7 mit 7≤ xα≤ 8, weil F(x) laut Vorüberlegung in diesem Intervall von 0,6667 auf 1 ansteigt und somit xα zu F(xα)= 0,7 zwischen 7 und 8 liegt und F(-∞)= 0 |
Hier: |
-1/3 x α2+ 16/3 xα- 61/3= 7/10x α2- 16 xα+ 61= -2,1x α2- 16 xα+ 63,1= 0x α= 8± Wurzel(82-63,1)= 8± Wurzel(0,9)Wegen Vorüberlegung 7≤ x α≤ 8 bleibt xα= 8- Wurzel(0,9)= 7,051316 .≈ 7,051. |
Ergebnis: |
Das 0,7-Quantil (oder 70%-Quantil) der Verteilung beträgt 7,051. |
Lösung d) |
|
Gesucht: |
Skizze zur Verteilungsfunktion samt Quantilen |
Hier: |
Einsatz der Tabellenkalkulation liefert Wertetabelle und Diagramm |
Ergebnis: |
Experimentalphysik II für Physik-Studierende an der Universität zu Köln im Sommersemester 2013, Vorlesung M. Braden, N. Qureshi Link zum Unterricht http://mathematik-physik-edv.deAufgabe 1 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte) Kräfte im Atomkern Im Grundzustand des Wasserstoffatoms haben Elektron und Proton einen Abstand von etwa r= 5*10-11m. Die Masse des Protons ist mp= 1,67*10-27kg, die des Elektrons ist me= 9,11*10-31 kg, die Elementarladung ist e=1,60*10-19 C, die Gravitationskonstante ist G= 6,67*10-11Nm2kg-2 und die Dielektrizitäts konstante ist ε0= 8,85*10-12 C2N-1m-2.a) Wie groß ist die elektrostatische Anziehungskraft zwischen Elektron und Proton? Lösungshinweise Formel zur Coulombkraft zwischen Ladungspunkten benutzen. Ergebnis b) Wie groß ist im Vergleich dazu die Gravitationskraft zwischen den beiden Teilchen? Lösungshinweise Formel zur Gravitationskraft zwischen Massenpunkten benutzen. Ergebnis
Aufgabe 2 der Übung 1 im SS2013 (8 Punkte) Millikan-Versuch Millikan beobachtete feinste Öltröpfchen, die im Schwerefeld der Erde unter Einfluss der Stokesschen Reibung langsam sinken. Erzeugt man nun ein elektrisches Feld, so dass die Tröpfchen nicht mehr sinken, so kann man die auf den Tröpfchen sitzende Ladung bestimmen. (Zur Erinnerung: es muss die Stokessche Reibungskraft F= 6πηrv aufgewendet werden, um eine Kugel mit Radius r mit Geschwindigkeit v durch ein Medium mit Viskosität η zu ziehen.) Sei nun an einem Tröpfchen die Sinkgeschwindigkeit v= 0,3 m/s beobachtet worden. Dieses Tröpfchen kann durch ein elektrisches Feld von 16,7 V/m in der Schwebe gehalten werden. a) Wie groß ist der Radius und die Masse des Öltröpfchens? Wegen v= const und somit a= 0 ist die resultierende Kraft auf das Tröpfchen 0. Lösungshinweise Folglich sind Gravitationskraft und Reibungskraft betraglich gleich groß. Hieraus berechnen sich Radius und Masse. Ergebnis b) Wieviele Elementarladungen sitzen auf dem Tropfen? (Dichte des Öls: 0,9 g/cm3, ηLuft= 1,8*10-5 Ns/m2.) Lösungshinweise Wegen v= 0 und somit a= 0 ist die resultierende Kraft auf das Tröpfchen 0. Da diesmal die Reibungskraft 0 ist wegen v= 0, sind Gravitationskraft und elektrische Kraft q*E (Ladung mal elektrisches Feld) betraglich gleich zu setzen. Hieraus berechnet sich q, was als Vielfaches der Elementarladung e angegeben werden kann. Ergebnis Aufgabe 3 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte) Richard Feynman behauptet in seinem Buch Lectures on Physics, dass die Abstoßungskraft zwischen zwei Personen, die jeweils 1% mehr Elektronen als Protonen besitzen und die sich auf eine Armlänge gegenüberstehen, ausreichen würde, die Masse der gesamten Erde mit g= 9,81 m/s2 zu beschleunigen. Zeigen Sie mittels einer Überschlagsrechnung, dass diese Behauptung richtig ist. Lösungshinweise
Ergebnis
Aufgabe 4 der Übung 1 im SS2013 (4 Punkte) Zwei kleine Kugeln mit vernachlässigbarer Größe und jede mit der Masse m= 2,0 g sind mit Fäden vernachlässigbarer Masse und der Länge L= 1,0 m an einem gemeinsamen Punkt aufgehängt (siehe Abbildung). a) Beide Kugeln tragen die Ladung Q= 60nC. Um welchen Winkel θ werden die Kugeln ausgelenkt? b) Die eine Kugel trage jetzt die Ladung Q1= 40 nC und die andere die Ladung Q2= 90nC. Welche Auslenkungen treten jetzt auf? Lösungshinweise Aus der Geometrie der Kugel-Lage f olgt sin(θ)= d/2L mit Abstand d der Kugeln.Aus dem Kräfteparallelogramm folgt: tan(θ)= FCoulomb/ FGravitation. Der Versuch, durch Gleich- oder Einsetzen der beiden Terme auf den benötigten Ladungsabstand d zu schließen, führt zu algebraisch schwierigen Termen der Größenordnung d3. Die Kleinwinkel-Näherung sin(θ )= tan(θ) fόhrt zum Ziel.Ergebnis Aufgabe 5 der Übung 1 im SS2013 (3 Punkte) Drei gleich große positive Ladungen Q1, Q2 und Q3 befinden sich an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a. Wie groß müsste eine negative Ladung im Mittelpunkt des Dreiecks sein, damit für jede Ladung Gleichgewicht der Kräfte bestünde? Wäre dieses Gebilde nach außen elektrisch neutral? Lösungshinweise Für die zentrale Ladung Q gilt in jedem Fall das Kräftegleichgewicht. Betrachtung der durch Q, Q2 und Q3 erzeugten Coulombkräfte auf Q1 ergibt die erforderliche Kraft in Richtung Q und lässt somit aufgrund des Abstandes von Q zu Q1 auf die erforderliche Ladung Q schließen. Gleiche Überlegungen gelten auch für Bilanz der Coulombkräfte auf Q2 und Q3. Die Kräfte in den Ladungen Q1, Q2 und Q3 greifen anders als in Q nicht im 120°-Winkel an. Ergebnis Aufgabe 6 der Übung 1 im SS2013 (8 Punkte) Zwischen zwei gleichen Punktladungen Q1 und Q1' im festen Abstand 2r ist eine weitere Punktladung Q2 mit der Masse M2 angebracht (siehe Abbildung). Q2 kann sich nur längs der Mittelsenkrechten bewegen. a) Welche Vorzeichen müssen die drei Ladungen haben, damit die Lage von Q2 für Δx= 0 eine stabile Gleichgewichtslage ist (keine Rechnung)?b) Bestimmen Sie die mechanische Schwingungsfrequenz von (Q2, M2) für eine harmonische Schwin gung kleiner Amplitude Δx.Lösungshinweise Eine harmonische Schwingung liegt vor, falls die Rückstellkraft linear proportional zur Auslenkung, hier x, ist. Deshalb muss für die Rückstellkomponente als Funktion der Auslenkung x eine lineare Näherung mittels Tangentengleichung angesetzt werden. Terme höherer Ordnung von x fallen somit weg, was durch den Hinweis nur kleiner Auslenkungen (die z.B. quadriert noch kleiner werden) gerechtfertigt ist. Die Rückstellkraft berechnet sich als x-Komponente der Summe der Coulombkräfte auf Q2. Diese Rückstellkraft ist die resultierende Kraft für die Newton-Bewegungsgleichung: F(Rückstell)= m*a(t)= m*x''(t) auf der X-Achse. In der Rückstellkraft erscheint x(t), so dass eine Differenzialgleichung in x(t) und x''(t) zu lösen ist mit dem Ansatz der Art x(t)= x0*cos(ω*t), wobei ω die Kreisfrequenz der Schwingung ist, aus welcher sich per f= ω/(2*π) die gesuchte Schwingungsfrequenz bestimmt. Lösung a) Q1 und Q2 haben Ladung unterschiedlichen Vorzeichens, Vorzeichen von Q1 stimmt mit dem von Q1 überein, sonst würde keine resultierende Kraft auf Q2 wirken. Lösung b) Schritt 1: Berechnung der Coulombkräfte auf Q2. Hinweis: Zur Verdeutlichung des rückstellenden Charakters der Coulombkräfte wird das laut a) negative Ergebnis durch das Minus-Rechenzeichen angezeigt. Q1 und Q2 sind also als Beträge anzusehen. Die anziehende Coulombkraft von Q1 auf Q2 beträgt F21= -Q1*Q2/(4* π*ε0*d2) mit d2= r2+ x2, wobei x für das in der Aufgabenstellung benutzte Δx steht.Schritt 2: Berechnung der x-Komponenten. Für die x-Komponente F21x dieser Kraft gilt dann wegen ähnlicher Dreiecke laut Abbildung: x/d= F21x/F21 : F21x= F21*x/d mit d= (r2+ x2)0,5. Einsetzen von F21 auf der rechten Seite liefert: F21x= -Q1*Q2*x /(4*π*ε0*d3)= -(Q1*Q2/4*π*ε0)*(x/d3)= -(Q1*Q2/4*π*ε0)*x/(r2+ x2)1,5. Somit ist F21x als Funktion von x dargestellt, also F21x(x). Die anziehende Coulombkraft von Q1 auf Q2 liefert die gleiche x-Komponente, so dass auf Q2 insgesamt die x-Komponente F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*x/(r2+ x2)1,5 wirkt. Man erkennt, dass für x= 0 die in x-Richtung wirkende Kraftkomponente F2x(x) Null wird, wie es sein soll. F2x(x) stellt also die auf Q2 wirkende Rückstellkraft in x-Richtung dar. Schritt 3: Linearisierung Für x≠ 0 wird für F2x(x) eine lineare Näherung angesetzt, damit anschließend eine lineare Differenzialgleichung gelöst werden kann. Aus der Taylor-Reihe 1. Ordnung für f(x) um die Entwicklungsstelle x0 oder mit einer Geraden an die Kurve f(x) im Berührpunkt (x0/f(x0)) erhält man die Tangentengleichung t(x)= f(x0)*(x- x0)+ f(x0). Mit der hier verwendeten Rückstellkraft F2x(x) schreibt sich dies als: FRück(x)= F2x(x0)*(x-x0)+ F2x(x0) Mit x0= 0 bleibt die lineare Näherung von F2x(x) zur Rückstellkraft FRück(x): FRück(x)= F2x(0)*x+ F2x(0), wobei F2x(0)= 0, wie zum Ende von Schritt 2 auch anschaulich einsehbar.. Mit der per Quotientenregel aufwändig erstellten Ableitungsfunktion F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{1*(r2+ x2)1,5- x*1,5*(r2+ x2)0,5*2*x}/(r2+ x2)3 F2x(x)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{(r2+ x2)1,5- (r2+ x2)0,5*3*x2}/(r2+ x2)3. An der Entwicklungsstelle x0= 0 wird F2x(x) zu F2x(0)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*{(r2+ 02)1,5- (r2+ 02)0,5*3*02}/(r2+ 02)3= F2x(0)= -(Q1*Q2/2*π*ε0)*(r3/r6)= -(Q1*Q2/2*π*ε0*r3), was zu einer festen Zahl -α zusammengefasst sei. Die lineare Näherung zu der Rückstellkraft in x-Richtung FRück(x) lautet also: FRück (x)= -α*(x-0)+ 0= -α*x.Schritt 4: Bewegungsgleichung Diese Rückstellkraft führt zu einer Beschleunigung x(t) der Masse M2 in x-Richtung gemäß Newton-Bewegungsgleichung: FRück(x)= M2*x(t), also -α*x(t)= M 2*x(t) mit α= (Q1*Q2/2*π*ε0*r3) >0, da Q1, Q2 Beträge sindSchritt 5: Lösen der Differenzialgleichung Ansatz zur Lösung dieser homogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung ist: x(t)= A*cos(ω*t)+ B*sin(ω*t) (Bemerkung: Welche Funktionen sollten sich auch sonst bis auf Faktoren bei zweifachem Ableiten reproduzieren? Der versuchsweise Ansatz einer Exponentialfunktion führt zu komplexen Zahlen und somit auch wieder auf trigonometrische Funktionen.) Die beiden Anteile sinus und cosinus können auch zu einer verschobenen cosinus-Funktion zusammengefasst werden wie folgt: x(t)= xA *cos(ω*t-φ), wobei hier nur die Kreisfrequenz ω interessiert, Startamplitude xA und Phasenverschiebung φ folgen aus Anfangs- oder Randbedingungen.Zweifaches Differenzieren nach der Zeit liefert: x(t)= - ω2*xA*cos(ω*t-φ). Dies ergibt zusammen mit dem Ansatz x(t)= xA*cos(ω*t-φ) eingesetzt in die Differentialgleichung -α*x(t)= M2*x(t):-α*x A*cos(ω*t-φ)= -ω2*M2*xA*cos(ω*t-φ). Teilen durch xA und Subtrahieren auf die linke Seite ergibt:- α*cos(ω*t-φ)+ ω2*M2*cos(ω*t-φ)=0Ausklammern liefert : cos(ω*t-φ)*(M 2*ω2- α)= 0Damit diese Gleichung für alle Z eiten t gilt, ist offenbar ω= (α/M2)0,5.Also: ω= (Q1*Q2/2*M2*π*ε0*r3)0,5Division durch (2*π) ergibt dann die gesuchte Schwingungsfrequenz der mit Q 2 geladenen Punktmasse M2 auf der x-Achse zwischen den beiden gleich großen Ladungen Q1 und Q1 hindurch:Ergebnis f= (Q1*Q2/8*ε0*M2*π3*r3)0,5, wobei die betragsmäßig angegebenen Ladungen Q1 und Q2 unterschiedliche Vorzeichen haben.
|
Physik für RFH-Köln im Wintersemester 2012 Link zum Unterricht http://mathematik-physik-edv.deAufgabe 1 der Klausur 2 im SS2012 Ein Flugzeug soll einen Flughafen in Nordrichtung anfliegen, der 1200 km entfernt liegt. Die nominelle Reisegeschwindigkeit des Flugzeugs beträgt 400 km/h. Während des Fluges herrscht ein konstanter Seitenwind von 30 km/h aus Richtung "Nordwest".
Hinweise zu a) Am übersichtlichsten ist die Darstellung von Orten und Geschwindigkeiten mit Vektoren in der x-y-Ebene. Ohne Kurskorrektur ergibt sich die resultierende Geschwindigkeit v als Summe aus Flugzeug-Geschwindigkeit und Wind-Geschwindigkeit (hier auf Vektorlänge 30km/h achten). Der Ort nach regulärer Zeit bestimmt sich aus s(t)= v*t und somit auch die Abweichung vom Flughafen. Hinweise zu b) Aus dem in a) bestimmten Ort nach regulärer Zeit ergibt sich der zur Flughafen-Erreichung erforderliche neue Vektor für die resultierende Geschwindigkeit. Obwohl ja der herrschende Wind berücksichtigt werden muss, ergibt sich für den Piloten ein einfaches Ergebnis, so dass man nach Lösung der Aufgabe meinen muss, dass die Lösung auch mit "bürgerlichem Rechnen" möglich wäre. Das ist für diese spezielle Aufgabe sogar richtig, im Allgemeinen jedoch falsch. Aufgabe 2 der Klausur 2 im SS2012 Der Fahrer eines Pkw bremste wegen einer Baustelle den Wagen mit der konstanten Beschleunigung -2,5 m/sec2 ab und reduzierte damit die Geschwindigkeit von 150 km/h auf 60 km/h. Wie lang war der Bremsweg und wie viel Zeit erforderte der Bremsvorgang? (280,56 m, 10 Sek.) Hinweise Da jegliche dynamische Angaben wie Kraft, Masse und Energie fehlen, kann nur kinematisch gerechnet werden. Es kommen also nur die Definitionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung zum Einsatz bzw. die hieraus abgeleiteten funktionalen Formeln für Ort und Geschwindigkeit als Funktionen der Zeit. Beginnt man mit der Bremszeit, wird der zeitlose Zusammenhang 2*a*s=v12-v02 nicht benötigt. Aufgabe 3 der Klausur 2 im SS2012 Ein Klotz der Masse m liegt auf einer ebenen Platte, die definiert um einen bestimmten Winkel α gen eigt werden kann. Wenn der Neigungswinkel α = 18° betrδgt, beginnt der Klotz zu rutschen.Wie groß ist die Haftreibungszahl ΅0 des Quaders auf der Platte? (0,325) Hinweise Am Schwerpunkt ist hier die übliche Kräftebilanz anzusetzen: F(Hangabtrieb)= F(Brems). Mit den üblichen Ansätzen, dass sowohl Hangabtriebskraft und Normalkraft trigonometrische Anteile der Gewichtskraft sind und die Bremskraft wiederum stets ein Teil (΅0) der Normalkraft, kommt man zum Ergebnis. Aufgabe 4 der Klausur 2 im SS2012 Von einer Weltraumstation mit der Masse mS = 200 t wird ein Teilmodul der Masse mM = 50 t mit konstanter Kraft in Verbindungsrichtung der beiden Körperschwerpunkte abgestoßen. Nach dem Kraftstoß bewegt sich das Modul mit der Geschwindigkeit w = 0,5 m/sec von der Station weg. Wie groß war diese Kraft, wenn der Abstoßvorgang zwei Sekunden dauerte? (20 kN) Hinweise Mit Impulssatz und Berücksichtigung der gegebenen Differenzgeschwindigkeit w werden die Einzelgeschwindigkeiten der trennenden Massen berechnet. Mit diesen wird die Summe aller Impulsänderungen bestimmt, woraus sich die für den entsprechenden Kraftstoß erforderliche Kraft bestimmt. Im Film rückwärts sieht man einen unelastischen Stoß mit der gemeinsamen Geschwindigkeit Null. Hier wird nochmals deutlich, dass es sich um einen unelastischen Stoß handelt, bei dem der Energiesatz nicht gilt. Aufgabe 5 der Klausur 2 im SS2012 Beim Anziehen einer Schraubenmutter um den Drehwinkel φ= 420° steigt das Drehmoment linear von M 1= 30 Nm (bei φ= 0°) auf das Drehmoment M2= 210 Nm (bei φ= 420°)Wie groß ist die beim Anziehen aufgewendete Dreharbeit? (879,65 J) Hinweise Ähnlich der translatorischen Arbeit WTrans = F * r bei vom Weg r unabhängiger Kraft F und WTrans = ∫F(r)*dr bei von r abhängiger Kraft F gilt für die Dreharbeit: WDreh = M * φ bei vom Drehwinkel φ unabhängigem Drehmoment M und WDreh = ∫M(φ)*dφ bei von φ abhδngigem M.Ähnlich wie bei WTrans ist die Dreharbeit einfach die Fläche im Drehmoment-Winkel-Diagramm, wobei der Winkelbereich φ1 bis φ2 in rad angegeben wird.Aufgabe 6 der Klausur 2 im SS2012 Um die Geschwindigkeit v eines Geschosses der Masse m = 25 g zu ermitteln, wird dieses in eine pendelnd aufgehängte Sandkiste mit der Pendellänge L = 1 m (bis zum Schwerpunkt) und der Masse M = 20 kg geschossen. Nach dem Eindringen des Geschosses schwingt das Pendel um den Winkel α = 19° zu Seite. Welche Geschwindigkeit v hatte das Geschoss? (828 m/sec) Hinweise Zunächst findet ein unelastischer Stoß von mit v fliegendem Geschoss m in die zuerst ruhende Masse M statt. Beide haben sodann infolge ihrer gemeinsamen aus dem unelastischen Stoß folgenden Stoßgeschwindigkeit u eine gemeinsame anfänglich maximale kinetische Energie, die bis zur maximalen Seitwärtsauslenkung um α = 19° vollständig in potentielle Energie umgewandelt wird. Aus der Geometrie folgt die im Umkehrpunkt gültige Hubhöhe und somit die maximale potentielle Energie der beiden Massen M und m. Diese ist gleich der maximalen kinetischen Energie, woraus sich die Stoßgeschwindigkeit u = 1,033875 m/sec bestimmt. Mit der Gesetzmäßigkeit für die Geschwindigkeiten vor und nach dem unelastischen Stoß bestimmt sich die Geschwindigkeit des Geschosses der Masse m. Aufgabe 7 der Klausur 2 im SS2012 Ein aufrecht stehender, dünner und homogener Stab mit konstantem Querschnitt hat die Masse m1 = 650 g. Auf halber Länge trägt der Stab einen schmalen Bleiring mit der Masse m2 = 650 g. Wie lang ist der Stab, wenn sein Endpunkt beim Umfallen mit der Geschwindigkeit v = 8 m/sec auf den Boden trifft? (1903 mm) Hinweise Ansatz ist E(vorher) = E(nachher). Hierbei E(vorher) = Epot(Stab) + Epot(Ring). Die Summe aller potentiellen Energien der beim homogenen Stab bis in die Höhe l gestapelter Massestückchen kann einfach durch Verlegung aller Massenstückchen in den Stabschwerpunkt also in die Stabmitte berechnet werden. Des Weiteren ist E(nachher) = Erot(Stab) + Erot(Ring). Für beide Massenist der Satz von Steiner zu verwenden, wobei für den schmalen Ring der Symmetrie-Term wegfällt, da für den Bleiring mangels Angaben von Punktmaterie auszugehen ist. Aufgabe 8 der Klausur 2 im SS2012 Ein Seilpendel besteht aus einer Stahlkugel als Pendelkörper und einem Seil der Länge L = 10 m. Die Kugel wird um 50 cm ausgelenkt und zur Zeit t = 0 sec losgelassen. Infolge des Luftwiderstandes wird das Pendel viskos gedämpft, so dass am Ende der 35. Schwingung(speriode) die Amplitude nur noch 45 cm beträgt.
Hinweise Die Lösung gelingt mit dem Ansatz für die exponentielle Abnahme der Amplitude gemäß: A(t) = A0 * e -δ*t mit der angegebenen Startamplitude A0 und dem zu bestimmenden Abklingkoeffizienten δ. Es genόgt, mit den Zeiten t = 35*T für die Amplitude 45cm und t = N*T für die Amplitude 5cm zu rechnen. |
Mathematik I für Studierende der Biologie und der Chemie an der Universität zu Köln im Wintersemester 2012 Link zum Unterricht http://mathematik-biologen.deAufgabe 1 der Übung 3: Direkter und indirekter Beweis zu einer Aussage über eine Ungleichung für reelle Zahlen Wir wollen beweisen, dass für beliebige a > 0 und b > 0 die folgende Ungleichung gilt: (a/b) + (b/4a) ≥ 1 a) Direkter Beweis Zeigen Sie die Behauptung direkt, d.h. starten Sie mit einer wahren Aussage und folgern Sie hieraus die Behauptung. Tipp: Starten Sie mit der Aussage (2a - b)2 ≥ 0. Lösung 1a: Als Vorbereitung zur aussagentheoretischen Durchführung des indirekten Beweises in Aufgabe 1b wird der gewünschte Beweis in Aufgabe 1a ebenfalls mit Aussagenlogik geführt wie folgt. Direkter Beweis: Zeige die Richtigkeit der Aussage: Aus A {a und b sind beliebige positive Zahlen} folgt B {a/b + b/4a ≥ 1}, also in Kurzform: Zeige: Aussage (A => B) ist wahr. Beweis: Seien a und b beliebige positive Zahlen => (2a-b)2 ≥ 0 => (4a2-4ab+b2) ≥ 0 => (4a2-4ab+b2)+4ab ≥ 0+4ab => 4a2+b2 ≥ 4ab /: 4ab/ => a/b + b/4a ≥ 1 q.e.d. b) Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis Nehmen Sie nun an, die Behauptung wäre falsch, und führen Sie dies zu einem Widerspruch. Folgern Sie hieraus, dass die Behauptung stimmen muss. Lösung 1b Indirekter Beweis: Zeige die Falschheit der verneinten oder negierten Aussage oder zeige die Falschheit der Gegenaussage, also in Kurzform: Zeige: Gegenaussage ¬( A => B) ist falsch. (¬ steht für "nicht" oder "non", also "Verneinung") Die Verneinung der Aussage (A => B) zur Gegenaussage ¬( A => B) gelingt erst, wenn man die Aussage (A => B) zunächst äquivalent umformt zur Aussage (¬A v B). "v" steht hierbei für logisches "oder". Kurz: (A => B) <=> (¬A v B). Diese Äquivalenz wird mit Wahrheitstabelle gezeigt. Nun lässt sich die Gegenaussage ¬(A => B) einfach durch die Negation (¬(¬A v B) mittels Regel von De-Morgan realisieren zu (A &¬B). "&" steht hierbei für logisches "und". Der indirekte Beweis gelingt also wie folgt in Kurzform: Zeige: Die Gegenaussage (A & ¬B) ist falsch, also ausführlich: (A {a und b sind beliebige positive Zahlen} & ¬B {(a/b) + (b/4a) < 1}) ist falsch. Es genügt ein Beispiel, um die Falschheit dieser aus einer Konjunktion ("Und-Aussage") bestehenden Gegenaussage zu zeigen: Für z.B. a=b=1 wird der zweite Teil der Konjunktion falsch (da durch Einsetzung von 1 für a und für b die Teilaussage ¬B {(1/1) + (1/4) < 1} falsch wird), so dass die Gegenaussage insgesamt falsch ist, folglich die ursprüngliche Aussage richtig ist, q.e.d. Bemerkung: Zum indirekten Beweis "Zeige ¬(A => B) ist falsch" ist nicht etwa z.B. die folgende Aussage äquivalent: "Zeige (¬B => ¬A) ist falsch." Die Wahrheitstabelle zeigt sogar, dass (¬B => ¬A) nicht etwa die Gegenaussage zu (A => B) ist, sondern sogar äquivalent mit (A => B) ist, kurz: (A => B) <=> (¬B => ¬A). Wahrheitstabellen sind also wichtige Hilfen bei der Umformung von logischen Aussagen und Aussageformen. |
Experimentalphysik für Studierende der Naturwissenschaften an der Universität zu Köln im Wintersemester 2012 Link zum Unterricht http://physik-biologen.deAufgabe 1 der Übung 2: Schräger Schuss, Kinematik der Translation in zwei Dimensionen Ein Bogenschütze schießt seinen Pfeil aus der Anfangshöhe h = 1.5 m unter einem Winkel von 60° gegen die Horizontale ab. Der Pfeil trifft auf 1.5 m Höhe in eine (horizontal) 50 m entfernte Zielscheibe. Wie groß war seine Anfangsgeschwindigkeit beim Abschuss? Hinweise zum Lösungsweg 1 Prinzip der Superposition: Betrachtung des Ortes z als Funktion der Zeit, also z(t) für den senkrecht nach oben gerichteten Wurf mit Startgeschwindigkeit v0z= v0*sin(α). Dazu die Betrachtung des Ortes x als Funktion der Zeit, also x(t) für die unbeschleunigte Vorwärtsbewegung mit der Startgeschwindigkeit und zugleich dauerhaften konstanten Geschwindigkeit v0x= v0*cos(α). Hinweise zum Lösungsweg 2 Prinzip der Superposition: Betrachtung der Ortsgeschwindigkeit vz als Funktion der Zeit, also vz(t) für den senkrecht nach oben gerichteten Wurf mit Startgeschwindigkeit v0z= v0*sin(α). Dazu die Betrachtung des Ortes x als Funktion der Zeit, also x(t) fόr die unbeschleunigte Vorwärtsbewegung mit der Startgeschwindigkeit und zugleich dauerhaften konstanten Geschwindigkeit v0x= v0*cos(α). Hinweise zum Lösungsweg 3 Betrachtung des Pfeilortes und der Pfeilgeschwindigkeit in vektorieller Darstellung: und Hinweise zum Lösungsweg 4 Aus den Orten z(t) und x(t) des Lösungsweges 1 den Parameter t eliminieren und die erhaltene Ortskurve z(x) untersuchen. Ergebnis v0= ((g*xmax)/(2*sina *cosa ))0,5= 23,79875236..... m/sec |
Aufgabe 1 der Übung 7: Satz von Gauß und E-Feld einer Punktladung Aufgabe
Hinweise
Ergebnis |
Mathematik, Physik und EDV für Schüler, Studenten und Berufstätige im Wintersemester 2012 Link zum Unterricht http://mathematik-physik-edv.de |